\(\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_3-u_6=7\\u_4+u_8=-14\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+2d-u_1-5d=7\\u_1+3d+u_1+7d=-14\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\d=-2\end{matrix}\right.\)

`=> u_n = 3-2(n-1) = -2n+5`

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công sai \(d =  - 3\).

b)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10{\rm{d}}\) thế vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {30 - 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 - 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 - 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 - 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} - 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} - 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.3 = 0\).

Với \(d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.\frac{{21}}{5} =  - 12\).

Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 3\).

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} =  - 12\) và công sai \(d = \frac{{21}}{5}\).

Câu 2:

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5-u_3=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\u_1+u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2u_1+4d=20\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u_1+4d-2u_1-5d=20-17\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-d=3\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=-3\\2u_1=17-5d=17+5\cdot3=32\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=16\\d=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 1:

Để a,b,c lập thành cấp số cộng thì

\(\left[{}\begin{matrix}a+c=2b\\a+b=2c\\b+c=2a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+1+x^2-1=2\cdot\left(3x-2\right)\\x+1+3x-2=2\left(x^2-1\right)\\x^2-1+3x-2=2\left(x+1\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2+x-6x+4=0\\2x^2-2=4x-1\\x^2+3x-3-2x-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4=0\\2x^2-4x-1=0\\x^2+x-5=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\\2x^2-4x-1=0\\x^2+x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in\left\{1;4\right\}\\x\in\left\{\dfrac{2+\sqrt{6}}{2};\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\right\}\\x\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}\right\}\end{matrix}\right.\)

Gọi  lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

Ta có: .

Vậy 

\(\left\{{}\begin{matrix}u_5=-15\\u_{20}=60\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+4d=-15\\u_1+19d=60\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-35\\d=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{20}=\dfrac{20.\left(u_1+u_{20}\right)}{2}\)

\(=10\left(2u_1+19d\right)\)

\(=10\left(-2.35+19.5\right)\)

\(=250\)

Xem lại đề câu 1

2,

\(u_{201}=u_1+\left(201-1\right).d=1+200.4=801\)

a, Ta có thể sắp xếp 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên thành cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=0\) và công sai \(d=2\)

b, Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d.

Ta có: 

\(u_3+u_{28}=\left(u_1+2d\right)+\left(u_1+27d\right)=2u_1+29d\Leftrightarrow2u_1+29d=100\\ \Rightarrow S_{30}=\dfrac{30\cdot\left[2u_1+29d\right]}{2}=\dfrac{30\cdot100}{2}=1500\)

c, Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \(v_1\) và công sai \(d\)

Ta có: 

\(S_6=18\Leftrightarrow\dfrac{6\cdot\left[2v_1+5d\right]}{2}=18\Leftrightarrow2v_1+5d=6\left(1\right)\\ S_{10}=110\Leftrightarrow\dfrac{10\cdot\left[2v_1+9d\right]}{2}=110\Leftrightarrow2v_1+9d=22\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2v_1+5d=6\\2v_1+9d=22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=-7\\d=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{20}=\dfrac{20\cdot\left[2v_1+19d\right]}{2}=\dfrac{20\cdot\left[2\cdot\left(-7\right)+19\cdot4\right]}{2}=620\)

ta có U6+U8=2U1+12d=-18

\(U^2_3+U^2_5=2U^2_1+12Ud+12d^2=-26\)

từ đó bằng phương pháp giải hệ 2 pt trên là ra

chỉ cần kết quả cuối cùng của u và d ? Ai biết xin giúp em với? Please!

Đã giải dc! (cảm ơn sự giúp đỡ của Đặng Yến Linh)

Result:

\(\begin{cases}u_6+u_8=-18\\u_3^2+u_5^2=26\end{cases}\)

\(\rightarrow\begin{cases}2u_1+12d=-18\rightarrow u_1=-9-6d\\\left(u_1+12d\right)^2+\left(u_1+4d\right)^2=26\end{cases}\)

\(\rightarrow\begin{cases}u_1=-9-6d\\\left(-9-6d+12d\right)^2+\left(-9-6d+4d\right)^2=26\end{cases}\)​

\(​\rightarrow{\begin{cases}d_1=...\\d_2=...\end{cases}\rightarrow {\begin{cases}x_1=...\\x_2=...\end{cases}}}\)

a) \({u_2} = {u_1} + d\)

\({u_3} = {u_1} + 2d\)

…

\({u_{n - 1}} = {u_1} + \left( {n - 2} \right)d\)

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

\({S_n} = {u_1} + {u_1} + 2d +  \ldots  + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

b) \({S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} +  \ldots  + {u_2} + {u_1} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d +  \ldots  + {u_1} + d + {u_1}\)

c) \(2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1} + d +  \ldots  + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) + \left( {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d +  \ldots  + {u_1}} \right)\).

\( \Rightarrow 2{S_n} = n.\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)

\( \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)